Parametrische Kurven

Parametrische Kurven und Flächen

Darstellung

• Explizite Darstellung einer Kurve $C$ im ${\mathbb{R}}^3$
  • $C=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x\in [a,b],y=f(x),z=g(x)\}$
• Implizite Darstellung einer Kurve $C$ im ${\mathbb{R}}^3$ als Lösungsmenge einer Funktion $F$
  • $C=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:F(x,y,z)=c\}$
• Parametrische Darstellung einer Kurve $C$ durch parametrisierte Funktionen für die (kartesischen) Koordinaten der Kurvenpunkte
  • $C=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x=c_x(t),y=c_y(t),z=c_z(t),t\in [a,b]\subset \mathbb{R}\}$
  • in der Praxis zumeist verwendet, da Biegungs-, Stetigkeits- und Formungseigenschaften effizient bereitgestellt werden

Parametrische Kurvendarstellung

Parametrisierte Kurve: Sein $\mathcal{I}\subset \mathbb{R}$ ein reelwertiges Intervall. Eine parametrisierte Kurve $C$ wird dargestellt als differenzierbare Abbildung der Form

$C:\mathcal{I}\to {\mathbb{R}}^n,t\mapsto C(t)=(c_1(t),\dots ,c_n(t))$

mit den komponentenweise definierten Funktionen $c_i:\mathcal{I}\to \mathbb{R}$

Kurve: Das Bild $\mathrm{im}(C)=\{C(t)|t\in \mathcal{I}\}$ heißt Kurve

Reguläre Kurve: Eine Kurve heißt regulär, falls sie stetig differenzierbar ist, d.h.

$\frac{d}{dt}C(t)=\left(\frac{d}{dt}{c}_1(t),\cdot \frac{d}{dt}{c}_n(t)\right)\ne 0$

für alle $t\in \mathcal{I}$. Jede reguläre Kurve hat damit in jedem Kurvenpunkt einen Tangentenvektor

Kurvenlänge: Sei $\mathcal{I}=[a,b]\subset \mathbb{R}$ ein Interval und die Kurve $C$ darauf regulär. Die Länge $L$ von $C$ bezüglich $\mathcal{I}$ ist gegeben durch:

$L(C)={\int }_a^b|C^{\prime }(t)|dt$

Beispiele von Kurven

Geraden: Eine gerade durch den Punkt $c_0\in {\mathbb{R}}^2$ mit Richtung $v\in {\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ wird parametrisiert dargestellt durch

$c:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2,t\mapsto c(t)=c_0+tv$

Es gilt $\frac{d}{dt}c(t)=v\ne 0$ für alle $t\in \mathbb{R}$, d.h. die Kurve ist regulär

Kreise: Die implizite Darstellung einer Kreislinie mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $r>0$ ist gegeben durch $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=r^2\}$. Sie wird parametrisiert durch

$c:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2,t\mapsto c(t)=\left(\begin{array}{c}r\cdot \cos (t)\\ r\cdot \sin (t)\end{array}\right),t\in [0,2\pi )$

Für die erste Ableitung gilt: $\frac{d}{dt}c(t)=\left(\begin{array}{c}-r\cdot \sin (t)\\ r\cdot \cos (t)\end{array}\right)\ne 0$

Schraubenlinie: Eine Schraubenlinie im Dreidimensionalen lässt sich parametrisch darstellen als:

$c:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3,t\mapsto \left(\begin{array}{c}r\cdot \sin (t)\\ r\cdot \cos (t)\\ h\cdot t\end{array}\right)$

wobei $r,h>0$

Polynomiale Kurven

Eine polynomiale Kurve $C$ ist eine parametrische Kurvendarstellung $C(t)$, bei der die einzelnen komponentenweise definierten Funktionen $c_i(t)$ Polynome $n$-ten Grades in $t$ sind, d.h.

$c_i(t)=a_{i,0}+a_{i,1}t+a_{i,2}{t}^2+\cdots +a_{i,n}{t}^n$

$C$ lässt sich damit definieren als

$C(t)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{t}^i=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+\cdots +a_n{t}^n$

mit den $a_i\in {\mathbb{R}}^n$ als Kontroll- oder Stützpunkte (bzw. Vektoren), über die die Gestalt und der Verlauf der Kurve spezifiziert wird

• in der Praxis meistens quadratische oder kubische Polynome ($n=2$ oder $n=3$)
• Tangentialvektor $C^{\prime }(t)$ | Gerade an einer Stelle $C(t)$ mit gleicher Richtung wie Tangentialvektor wird auch Kurventangente genannt
• eine stückweise zusammengesetzte, polynomiale Kurve $C$ wird durch eine Reihe von polynomialen Kurven $Q_i$ (Kurvensegmente) definiert, d.h. $C=\bigcup Q_i$

Kontinuität

Geometrische Kontinuität:

• $Q_1$ und $Q_2$ sind an ihrer Nahtstelle $G^0$-geometrisch kontinuierlich (auch $G^0$-stetig), falls $Q_1(1)=Q_2(0)$
  • “sie stimmen in ihrer Position überein”
• $Q_1$ und $Q_2$ sind an ihrer Nahtstelle $G^1$-geometrisch kontinuierlich, falls $\frac{d}{dt}{Q}_1(1)=\frac{d}{dt}k\cdot Q_2(0),k>0$
  • d. h. ihre Tangentialvektoren besitzen dieselbe Richtung, aber evtl. unterschiedliche Längen
• Allgemein: $Q_1$ und $Q_2$ sind an ihrer Nahtstelle $G^i$-geometrisch kontinuierlich, falls sie richtungsmässig (Tangentialvektor) in ihrer $i$-ten Ableitung übereinstimmen
  • exakte Gleichheit für $C^i$-parametrisch kontinuierlich

Parametrische Kontinuität:

• $Q_1$ und $Q_2$ sind an ihrer Nahtstelle $C^1$-parametrisch kontinuierlich, falls $Q_1^{\prime }(1)=Q_2^{\prime }(0)$
• Allgemein: $Q_1$ und $Q_2$ sind an ihrer Nahtstelle $C^n$-parametrisch kontinuierlich, falls $\frac{d^i}{d{t}^i}{Q}_1(t)=\frac{d^i}{d{t}^i}{Q}_2(0),0\le i\le n$
  • d. h. die i-ten Ableitungen stimmen an der Nahtstelle überein

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Bézier-Kurven

• Grad $n$: $n+1$ Stützpunkte $p_i$
• $B_i^n$ ist $i$-tes Bernstein-Polynom mit Grad $n$
• Gewichtung: $Q(t)={\sum }_{i=0}^n{B}_i^n(t)\cdot p_i$
• Bézier-Kurve: $C:=\{Q(t)|t\in [0,1]\}$

Bernstein-Polynome

Seien $n\in {\mathbb{N}}_0$ und $0\le i\le n$ natürliche Zahlen und $t\in [0,1]$. Das $i$-te Bernstein-Polynom vom Grad $n$ ist definiert als

$B_i^n(t)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)t^i(1-t{)}^{n-i}$

Eigenschaften

Bernstein-Polynome:

1. Positivität: für $0\le t\le 1$ gilt $0\le B_i^n(t)\le 1$
2. Zerlegung der Eins: ${\sum }_{i=0}^n{B}_i^n(t)=1$
   • Konvexkombination der $p_i$: Positivität und Zerlegung der Eins $\Rightarrow$ Jeder Kurvenpunkt ist Element der konvexen Hülle seiner Stützpunkte
3. Extrema: $B_i^n(t)$ besitzt genau ein absolutes Maximum an der Stelle $t=\frac{i}{n}$
4. Symmetrie: $B_i^n(t)=B_{n-i}^n(1-t)$
5. Ableitung: $\frac{d}{dt}{B}_i^n(t)=n(B_{i-1}^{n-1}(t)-B_i^{n-1}(t))$
6. Rekursion: $B_i^n(t)=(1-t)B_i^{n-1}(t)+t{B}_{i-1}^{n-1}$ mit $B_i^n(t):=0$ für $i<0$ oder $i>n$ sowie $B_0^0(t):=1$

Berstein-Polynome: Eigenschaft und $n=2$ bis $n=4$ durchgehen, Konvexkombination (KLAUSURRELEVANT)

Bézier-Kurven:

1. Die Punkte $P_0$ und $P_n$ werden durch die Kurve interpoliert und tatsächlich erreicht
2. Die Punkte $P_1$ bis $P_{n-1}$ werden approximiert, d.h. die Kurve verläuft in der Nähe
3. Die Bézier-Kurve befindet sich immer vollständig in der konvexen Hülle der Menge der Punkte $\{P_0,\dots ,P_n\}$
4. Der Linienzug $P_0,\dots ,P_n,P_0$ wird als charakteristisches Polygon der Bézier-Kurve bezeichnet
5. Die Tangente im Anfangspunkt ist gegeben durch den Vektor $n\cdot (P_i-P_0)$
6. Die Tangente im Endpunkt ist gegeben durch den Vektor $n\cdot (P_n-P_{n-1})$
7. Eine Bézier-Kurve durch $n+1$ Punkte ist eine polynomiale Kurve vom Grad $n$
8. Jeder einzelne Punkt $P_i$ hat einen “globalen” Einfluss, d.h. Einfluss auf den gesamten Kurvenverlauf
   • $\Rightarrow$ mehr Stützstellen heißt nicht mehr Kontrolle, stattdessen werden komplexe Kurven aus Teilkurven mit niedrigem Grad zusammengesetzt

Zusammengesetzte Bézier-Kurven

• Verbindung der Kurvensegmente über einen gemeinsamen End- bzw. Anfangspunkt
• $G^1$-kontinuierlich, wenn $P_3-P_2=k(P_4-P_3),k>0$
  • gleiche Richtung vor und hinter gemeinsamem Verbindungspunkt $P_3$
• $C^1$-kontinuierlich, wenn $P_3-P_2=P_4-P_3$
  • zusätzlich gleiche Länge vor und hinter gemeinsamem Verbindungspunkt $P_3$

Rekursive Konstruktion eines Bézier-Kurvenpunktes (De-Casteljau-Algorithmus)

Für die Bézier-Kurve zu den Punkten $P_0,\dots ,P_n$ gilt:

$Q_{0,\dots ,n}(t)=(1-t)\cdot Q_{0,\dots ,n-1}(t)+t\cdot Q_{1,\dots ,n}$

Dabei wird also die Stützpunkte-Menge also in zwei Mengen mit Größe $n-1$ geteilt. Dies kann rekursiv wiederholt werden

Algorithmus

Wir definieren $P_0^0:=P_0,\dots ,P_n^0:=P_n$. Für $1\le j\le n$ und $1\le i\le n-j$ berechnen wir den Punkt $P_i^j$ durch

$P_i^j=(1-t)P_i^{j-1}+t{P}_{i+1}^{j-1}$

Der gesuchte Punkt $Q_{0,\dots ,n}(t)$ ist gegeben durch $P_0^n$

• Rekursives Verfahren, das die jeweilige Kurve in zwei Unterkurven unterteilt und durch Interpolation die Kurvenpunkte berechnet
• Zeitaufwand: $\mathcal{O}(n^2)$
• Numerisch stabil, da stets nur Konvexkombination berechnetet Daten erzeugt werden
• $\Rightarrow$ Effizienter, numerisch stabiler Algorithmus zur Berechnung von Kurvenpunkte
• Verwendung: z.B. Definition von Schriftzeichen (Glyphs) für Zeichensätze (Fonts)

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Kubische Hermitisches Splines

• stückweise definierte, kubische polynomial definierte Kurve $C$, die durch eine Menge von $n$ Kontrollpunkten $p_0,p_1,\dots ,p_{n-1}$ definiert ist
• Die Kurve interpoliert die Stützpunkte, sie werden also allesamt einmal erreicht ($C(t_i)=p_i)$
• Kurvensegmente sind abschnittsweise zwischen den Stützpunkten definiert $\Rightarrow$ konstanter Grad, unabhängig von $n$
• Tangente an Stützpunkt entspricht Richtungsvektor zwischen benachbarten Stützpunkten
• im Allgemeinen $C^1$-kontinuierlich, aber nicht $C^2$-kontinuierlich
• keine Konvexe-Hülle-Eigenschaft

$m$ sind Tangentenvektoren, anstatt Punkten $p$

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B-Spline

• Splines repräsentieren kontinuierliche Kurven mit beliebig vielen Kontrollpunkten, die jeweils nur lokalen Einfluss auf den Kurvenverlauf haben
• Splines setzen sich aus stückweise zusammengesetzten, polynomial definierten Kurvensegmenten zusammen, die jedoch nicht einzeln spezifiziert werden, sondern sich aus den Kontrollpunkten und Parametervektoren ergeben
• frei wählbarer Polynomgrad
• Zusätzlich zu den Kontrollpunkten wird ein Knotenvektor spezifiziert, der die Gewichte der Kontrollpunkte ausdrückt
• Uniforme Splines besitzen im gesamten Kurvenverlauf gleiche Stetigkeitseigenschaften. Bei einem Grad $k>0$ sind die Nahtstellen der Kurvensegmente $C^{k-1}$-kontinuierlich (z.B. für kubische B-Splines gilt $C^2$-Kontinuität)

Definition

• $n+1$ Kontrollpunkte: $P=\{P_0,\dots ,P_n\}$ mit $P_i\in {\mathbb{R}}^3$
• konstanter Polynomgrad $k\in {\mathbb{N}}^{+}$
• Knotenvektor $T=(t_0,\dots t_n,t_{n+1},\dots ,t_{n+k+1})$, eine wachsende Folge mit $n+k+2$ Werten $t_i\in \mathbb{R}$
• für jedes $t$ ergibt sich $Q(t)$ als gewichtete Summe der Punkte $P_i$

Die B-Spline-Kurve $C$ ist definiert wie folgt

$C=\{Q(t)|t\in [t_0,t_{n+k+1}]\}$

mit

$Q(t)={\sum }_{i=0}^n{B}_{i,k+1}(t)P_i$

mit den B-Spline-Basisfunktionen $B$ (nicht Berstein-Polynome!)

B-Spline-Basisfunktionen

• Rekursive Definition auf Basis von Polynomen niedrigeren Grades
• Einflussbereiche der Punkte werden über die Knotenwerte in $T$ definiert

$B_{i,j}=\frac{t-t_i}{t_{i+j-1}-t_i}{B}_{i,j-1}(t)+\frac{t_{i+j}-t}{t_{i+j}-t_{i+1}}{B}_{i+1,j-1}(t)$

$B_{i,1}(t)=\{\begin{array}{ll}1& \text{falls }{t}_i\le t<t_{i+1}\\ 0& \text{sonst}\end{array}$

Einflussbereich: Wird durch den Polynomgrad bestimmt

• der Einflussbereich von $B_{i,4}$ ergibt sich aus der Vereinigung der Einflussbereiche von $B_{i,1},B_{i+1,1},B_{i+2,1}$ und $B_{i+3,1}$
  • Der Einflussbereich ist damit $[t_i,t_{i+4})$
• Lokaler Kontrollpunkteinfluss: Einflussbereich eines Kontrollpunktes $P_i$ ergibt sich aus dem Wirkungsbereich der Gewichtungsfunktion $B_{i,n+1}$
  • Da die Gewichtungsfunktionen im Allgemeinen nur in einem Teilabschnitt $>0$ sind, hat $P_i$ nur lokalen Einfluss
  • Lokaler Kontrollpunkteinfluss ist die Voraussetzung für die flexible Gestaltung komplexer Kurven

Kontrollpunktgewichtung

• Kurvenpunkte ergeben sich als Summe gewichteter Kontrollpunkte mit lokalem Einfluss: $Q(t)={\sum }_{i=0}^n{B}_{i,4}(t)P_i$
• Aufbau des Knotenvektors $T$ entscheidet maßgeblich über Kontrollpunkteeinfluss
• Knotenmultiplizität: $x$-faches Gleichsetzen eines Knotenwertes (Knotenmultiplizität $x$) bewirkt, dass gezielt die Stetigkeit zwischen zwei Kurvensegmenten reduziert wird

Typen von B-Splines

• Geschlossene B-Splines: Anfangskontrollpunkte werden am Ende der Kontrollpunktfolge wiederholt | z.B. $P_0,\dots ,P_{n^{\ast }},P_0,P_1,P_2$
• Uniforme B-Splines: Knotenwerte sind äquidistant | $t_{i+1}-t_i=\delta$ konstant für innere Knoten des Knotenvektors
• Nichtuniforme B-Splines: Knotenwerte sind nicht äquidistant
• Nichtrationale B-Splines: $x(t),y(t)$ und $z(t)$ sind Polynome in $t$
• Rationale B-Splines: $x(t)=X(t)/W(t),y(t)=Y(t)/W(t)$ und $z(t)=Z(t)/W(t)$ sind Polynombrüche in $t$ mit $W(t)$ als Polynome gleichen Grades wie $x(t),y(t)$ und $z(t)$
  • Erweiterung der B-Splines mit Gewichtung der Kontrollpunkte
• NURBS: Nicht-uniforme (NU), rationale (R) B-Splines (BS)

Definitionen Bezier vs. Spline (auch rekursiv) können

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Parametrische Flächen

• Darstellung ähnlich zu Splines, aber über Punktegitter
• Fläche entsteht durch Kombination zweier Kurven

Patches

Kurvenfamilie

• Der Rand eines Patches bezüglich $u$- bzw. $v$-Dimensions des Parameterraums wird durch eine Randkurve geformt
• Für ein feste $u$ (bzw. ein festes $v$) ergibt sich aus der Flächenfunktion stets eine eindimensional parametrisierte Kurvenfunktion
• Die Geometrie eines Patches ist durch das reguläre 2D-Gitter seiner Kontrollpunkte festgelegt
  • jeder Gitterpunkt entspricht einem Kontrollpunkt im ${\mathbb{R}}^3$
  • Die Kontrollpunkte eines Patches werden im Allgemeinen in einem 2D-Array gespeichert
  • Die Kontrollpunkte werden zur Berechnung eines Patchflächenpunktes gewichtet summiert; die Gewichtung wird durch Mischfunktionen definiert

Definition

• Sei $p(u,v)$ eine zweifach parametrisierte polynomiale Funktion $p:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ mit $u,v\in [0,1]$
• Ein Patch $P$ ist definiert durch $P=\{p(u,v)\in {\mathbb{R}}^3|u,v\in [0,1]\}$
• Die Normale im Punkt $p(u,v)$ ist gegeben durch $\frac{\delta p}{\delta u}(u,v)\times \frac{\delta p}{\delta v}(u,v)$
• Die geometrische Form von $P$ im ${\mathbb{R}}^3$ wird durch die Kontrollpunkte und Knotenvektoren von $p$ gesteuert
• Das Rendering eines Patches erfolg z.B. durch Triangulation der Oberfläche mit einer festen oder adaptiven (z.B. sichtabhängigen) Auflösung

Bilineare Patches

• Sonderfall mit 4 Kontrollpunkten
• verwendet lineare Interpolation entlang der beiden Achsen
• entspricht Bézier-Patch mit Grad 1

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Bezier-Flächen

Eine Bézier-Fläche (Bézier Surface, Bézier Patch) ist eine parametrische Fläche auf Basis von Bernstein-Polynomen $n$-ten Grades mit einem $(n+1)\times (n+1)$-Kontrollpunktgitter mit den Kontrollpunkten $P_{i,j}$

$p(u,v)={\sum }_{i=0}^n{\sum }_{j=0}^n{B}_i^n(u)B_j^n(v)P_{i,j}$

mit $0\le u,v\le 1$

• Im Allgemeinen habe die Bernsteinpolynome in $u$ und $v$ denselben Grad (häufigster Fall ist $n=3$)

Eigenschaften

• Konvexe-Hülle-Eigenschaft: Das Bézier-Flächenstück liegt in der konvexen Hülle des definierenden Kontrollnetzes
• Globaler Einfluss der Kontrollpunkte: e: Alle Kontrollpunkte beeinflussen global die Bézier-Fläche
• Interpolation der Eckpunkte: Die vier Eckpunkte des Kontrollnetzes und die Eckpunkte der Fläche stimmen überein
• Bézier-Randkurven: Die Randpunkte des Kontrollnetzes sind die Bézier-Punkte der Randkurven der Fläche
• Planarität: Genau dann eben, wenn das Kontrollnetz in einer Ebene liegt

Ableitungen und Normalen

Gradienten durch partielle Ableitungen:

$\frac{\delta p(u,v)}{\delta u}=n{\sum }_{i=0}^{n-1}{\sum }_{j=0}^n{B}_i^{n-1}(u)B_j^n(v)(p_{i+1,j}-p_{i,j})$

$\frac{\delta p(u,v)}{\delta v}=n{\sum }_{i=0}^n{\sum }_{j=0}^{n-1}{B}_i^n(u)B_j^{n-1}(v)(p_{i,j+1}-p_{i,j})$

Die Normale ein einem Flächenpunkt kann durch das Kreuzprodukt der Gradientenvektoren berechnet werden:

$n(u,v)=\mathrm{normalize}\left(\frac{\delta p(u,v)}{\delta u}\times \frac{\delta p(u,v)}{\delta v}\right)$

Kontinuitätsbedingungen

• $G^0$ und $C^0$-Kontinuität: Durch 4 gemeinsame Kontrollpunkte entlang der gemeinsamen Flächenkante
• $G^1$-Kontinuität: 2 Kontrollpunktmengen zur Seite der gemeinsamen Flächenkante

Triangulierung von Bézier-Flächen

• Für das Rendering werden Bézier-Flächen durch Dreiecksnetze approximiert
• Triangulierung sollte adaptive erfolgen, um optimale Netzauflösung bezüglich Canvas zu gewährleisten
• Tesselation sollte von der GPU (vollständig) übernommen werden, um Rendering-Effizienz zu maximieren
• An gemeinsamen Patch-Rändern muss über entsprechende Auflösung das Mesh „vernäht“ werden (z.B. bei nicht-uniformer Tesselation)

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B-Spline-Flächen

• Entkopplung von Grad und Anzahl der Punkte
• Eine B-Spline-Fläche ist eine zwei-dimensional un $u$ und $v$ parametrisierte Fläche $S=\{p(u,v)|u,v\in [0,1]\}$
• $S$ wird durch ein Kontrollpunkt-Gitter spezifiziert, dass $(n_u+1)\times (n_v+1)$ viele Punkte $P_{i,j}\in {\mathbb{R}}^3$ enthält
• Die Punkte $P_{i,j}$ werden durch die polynomialen Funktionen $N_{i,k_u}$ bzw. $N_{j,k_v}$ gewichtet, deren Polynomgrad $k_u$ in Dimension $u$ bzw. $k_v$ in Dimension $v$ sei
  • meist $k_u=k_v$
  • die minimale Anzahl der Punkte in der $u$- bzw. $v$-Dimension wird durch den Polynomgrad $n_u$ bzw. $n_v$ definiert (analog zu reinen B-Splines)
• Die Knotenvektoren, die in der Definition der $N$-Funktionen verankert sind, sind bezüglich $u$ bzw. $v$ definiert als $U=\{u_0,u_1,\dots ,u_{n_u+k_u+1}\}$ bzw. $V=\{v_0,v_1,\dots ,v_{n_v+k_v+1}\}$

Die B-Spline-Flächen-Funktion $p$ ist definiert wie folgt:

$p(u,v)={\sum }_{i=0}^{n_u}{\sum }_{j=0}^{n_v}{N}_{i,k_u}(u)N_{j,k_v}(v)P_{i,j}$

Eigenschaften

• Lokaler Einfluss
• Nichtnegativität: $\forall u,v\in [0,1]:N_{i,n_u}(u)\ge 0\wedge N_{j,n_v}(v)\ge 0$
• Partition der Eins: $\forall u,v\in [0,1]:{\sum }_{i=0}^{n_u}{\sum }_{j=0}^{n_v}{N}_{i,n_u}(u)N_{j,n_v}(v)=1$

Rekursive Definition der Basis-Funktion $N$:

$N_{i,k}(u)=\frac{u-u_i}{i_{i+k}-u_i}{N}_{i,k-1}(u)+\frac{u_{i+k+1}-u}{u_{i+k+1}-u_{i-1}}{N}_{i+1,k-1}(u)$

$N_{i,0}=\{\begin{array}{ll}1& u_i\le u\le u_{i+1}\\ 0& \text{sonst}\end{array}$

NURBS-Flächen

Nicht-uniforme rationale B-Spline-Flächen

• Verallgemeinerung durch rationalen Polynomfunktionen
• Generalisierung der polynombasierten, parametrischen Flächen
• Zusätzlich pro Punkt: Gewicht $w$
  • mit den Kontrollpunkten im homogenen Koordinatenrau, $P=(wy,wy,wz,w)$

Definition:

$p(u,v)=\frac{{\sum }_{i=0}^{n_u}{\sum }_{j=0}^{n_v}{N}_{i,k_u}(u)N_{j,k_v}(v)w_{i,j}{p}_{i,j}}{{\sum }_{i=0}^{n_u}{\sum }_{j=0}^{n_v}{N}_{i,k_u}(u)N_{j,k_v}(v)w_{i,j}}$