Vektorraum

Ein Vektorraum über einem Körper $K$ ist ein Tripel $(V, +, \cdot)$ bestehend aus einer Menge $V$ , einer Additions-Operation $+ : V \times V \to V$ und einer Operation zur skalaren Multiplikation $\cdot : K \times V \to V$ , so dass gilt

$(V, +)$ ist eine abelsche Gruppe

Assoziativität der skalaren Multiplikation: $\forall λ, η \in K, v \in V : (λ \cdot η) \cdot v = λ \cdot (η \cdot v)$

Neutrales Element: $\forall v \in V : 1 \cdot v = v$

Distributivgesetze: $\forall λ, η \in K, v, w \in V : (λ + η) \cdot v = λ \cdot v + η \cdot v$ und $λ \cdot (v + w) = λ \cdot v + λ \cdot w$

Skalarprodukt

Sei $V$ ein $R$ -Vektorraum. Ein inneres Produkt (Skalarprodukt) ist eine Abbildung $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : V \times V \to R, (u, v) \mapsto ⟨ u, v ⟩$ , so dass für beliebige Elemente $u, v, w, \in V$ und $λ \in R$ gilt:

Symmetrie: $⟨ u, v ⟩ = ⟨ v, u ⟩$
Additivität: $⟨ u + v, w ⟩ = ⟨ u, w ⟩ + ⟨ v, w ⟩$
Multiplikativität: $⟨ u, λ v ⟩ = λ ⟨ u, v ⟩ = ⟨ λ u, v ⟩$
Positive Definitheit: $⟨ u, u ⟩ \geq 0$ und $⟨ u, u ⟩ = 0 \Leftrightarrow u$ ist der Nullvektor (neutral bezüglich Addition)

Euklidisches Standardskalarprodukt

Das Euklidische Standardskalarprodukt im $R^{n}$ ist definiert als $⟨ u, v ⟩ = u \cdot v = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i}$

Zum Beispiel: $u = 12 - 7$ und $v = 423$ , $⟨ u, v ⟩ = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + (- 7) \cdot 3 = 13$

Anwendungen

Längenmessung

Die Länge eines Vektors entspricht dessen Betrag:

$∣∣ \cdot ∣∣ : R^{3} \to R, v \mapsto ∣∣ v ∣∣ = ⟨ v, v ⟩ = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$

Die Betragsfunktion erfüllt dabei folgende Eigenschaften für beliebige Elemente $u, v \in R^{3}, λ \in R$ :

$∣∣ u ∣∣ = 0 \Leftrightarrow u = 0$
$∣∣ λ u ∣∣ = λ ∣∣ u ∣∣$
$∣∣ u + v ∣∣ \leq ∣∣ u ∣∣ + ∣∣ v ∣∣$ (Dreiecksungleichung)

Damit erfüllt die Betragsfunktion die Eigenschaften einer Norm (Abbildung, die die Größe eines Objekts beschreibt) und kann unter anderem dazu verwendet werden, Vektoren zu normalisieren (gleiche Orientierung, Länge 1):

$norm : R^{n} \to R, v \mapsto norm (v) = \frac{1}{∣∣ v ∣∣} v$

Winkelmessung

Die Messung von Winkeln zwischen zwei Vektoren gilt als Hauptanwendung des Skalarprodukts. Mithilfe des Kosinussatzes lässt sich für $v, u \in R^{3}$ und deren Schnittwinkel $θ$ herleiten:

$⟨ u, v ⟩ = ∣∣ u ∣∣ \cdot ∣∣ v ∣∣ cos (θ) \Leftrightarrow cos (θ) = \frac{⟨ u , v ⟩}{∣∣ u ∣∣ \cdot ∣∣ v ∣∣}$

Somit gilt:

$⟨ u, v ⟩ > 0$ falls $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$
$⟨ u, v ⟩ < 0$ falls $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$
zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist: $u ⊥ v \Leftrightarrow ⟨ u, v ⟩ = 0$

Front-Facing/Back-Facing-Test: lässt sich nun mithilfe der Normalen $N$ der vom Polygon aufgespannten Ebenen durchführen:

$sign (⟨ v, N ⟩) = {+ 1 - 1 front-facing back-facing$

Orthogonale Projektion von Vektoren

Ausgehend von den beschriebenen Eigenschaften des Skalarprodukts lässt sich ein Vektor $u, \in R^{3}$ wie folgt orthogonal auf einen Vektor $v \in R^{3}$ projizieren. Den projizierten Vektor bezeichnen wir mit $w = λ \cdot v$ . Die Vektoren $u - w$ und $v$ sind orthogonal zueinander, sodass gilt

$0 = ⟨ u - w, v ⟩ = ⟨ u - λ v, v ⟩ = ⟨ u, v ⟩ - λ ⟨ v, v ⟩$

Daraus ergibt sich

$w = λ \cdot v = \frac{⟨ u , v ⟩}{⟨ v , v ⟩} v$

Orthogonale Projektion eines Punktes auf eine Ebene

Ebene gegeben durch Punkt $P_{0}$ und Normalenvektor $n$ , Punkt $P$ soll auf die Ebene projiziert werden

Projektion des Vektors $P_{0} P = P - P_{0}$ auf den Normalenvektor $n$ berechnen

Projektion von $P$ auf die Ebene ist $P$ minus die zuvor berechnete Projektion

Abstandsmessung Punkt-Ebene

Wir betrachten einen Punkt $q$ in einer Ebene $E$ . Es bezeichne $N = A B C$ die Normale der Ebene. Die Ebene $E$ ist folglich mit $D = - ⟨ q, N ⟩$ gegeben durch die Menge:

$E = {p = (x, y, z) \in R^{3} ∣ ⟨ p - q, N ⟩ = ⟨ p, N ⟩ - ⟨ q, N ⟩ = ⟨ p, N ⟩ + D = 0}$

also

$E = {p = (x, y, z) \in R^{3} ∣ A x + B y + C z + D = 0}$

Der Abstand eines Punktes $p \in R^{3}$ zur Ebene $E$ ist demnach gegeben durch

$dist (p, E) = ∣∣ p - q ∣∣ \cdot cos (θ) = ∣∣ p - q ∣∣ \cdot \frac{⟨ p - q , N ⟩}{∣∣ p - q ∣∣ \cdot ∣∣ N ∣∣} = \frac{⟨ p , N ⟩ + D}{∣∣ N ∣∣}$

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt ist definiert als:

$\times : R^{3} \times R^{3} \to R^{3}, (u, v) \mapsto u \times v = u_{1} u_{2} u_{3} \times v_{1} v_{2} v_{3} = u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2} u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3} u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}$

Anwendungen

Berechnung von Oberflächennormalen für planare Polygone
Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen
Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken (halbes Parallelogram)

Affiner Raum $A^{3}$

Punkte werden durch Vektoren beschrieben

Assoziierter Vektorraum $V^{3}$
Elemente: $a, b \in A^{3} \Leftrightarrow \exists v \in V^{3} : v = b - a$
- Positionen, keine Richtungen
- Abstand von $a$ und $b$ : $∣∣ a - b ∣∣$
Affine Basis: ${o, e_{1}, e_{2}, e_{3}}$
- Ursprung $o \in A^{3}$ und Basis des Vektorraums
- Ortsvektor eines Punktes $p$ : $(p - o) \in V^{3}$
Affine Kombination zweier Punkte: $P = λ P_{1} + (1 - λ) P_{2}$

Klassifizierung von Abbildungen:

Isometrische Abbildung
- Invariante: Abstände
- Reflexionen, starre Körper (Rotation und Translation)
Ähnlichkeitsabbildung
- Invariante: Winkel
- Uniforme Skalierung, Drehstreckung
Affine Abbildung $T : A^{3} \to A^{3}$ (kontinuierlich, bijektiv, invertierbar)
- nutzt meist Homogene Koordinaten
- Invariante: parallele Geraden
- Nicht-uniforme Skalierung, Scherung
Kollineare Abbildung
- Invariante: Geraden
- Perspektive
Nicht-lineare Abbildung
- Biegung, Verzerrung, etc.

Lineare Abbildungen

Eine Abbildung $f : V \to W$ zwischen zwei Vektorräumen des gleichen Körpers $K$ heißt linear (genauer K-linear), falls für beliebige Elemente $u, v \in V$ und $λ \in K$ gilt:

$f (u + v) = f (u) + f (v)$
$f (λ v) = λ f (v)$

Lineare Abbildungen von $R^{3}$ nach $R^{3}$ lassen sich durch $3 \times 3$ -Matrizen darstellen, die jeweils das Bild eines Basis-Vektoren beinhalten (lineare Abbildungen sind über diese Bilder eindeutig definiert)

Homogene Koordinaten

Translationen (Verschiebungen) sind keine linearen Abbildungen auf dem $R^{3}$
Homogene Koordinaten nutzen $4 \times 4$ -Matrizen, um alle Basistransformationen als lineare Abbildungen darzustellen

$H : x y z \to x y z 1$

$H^{- 1} : x y z w \to x / w y / w z / w$

Anmerkungen: Punkte mit $w = 0$ liegen im Unendlichen. Der Punkt $(0, 0, 0, 0)$ ist nicht definiert. Allerdings kann $w = 0$ genutzt werden, um Richtungen anstelle von Positionen anzugeben

3D-Basistransformationen

Translation

Verschiebung von Objekten im Raum entlang eines Verschiebungsvektors (repräsentiert durch die Parameter)

100001000010 d_{x} d_{y} d_{z} 1

Eigenschaften:

Verkettung / Vertauschung: $T (d_{1}) T (d_{2}) = T (d_{2}) T (d_{1}) = T (d_{1} + d_{2})$
Inverse: $T^{- 1} (d) = T (- d)$

Rotation

Rotation um die Achsen $x, y$ und $z$
Bewahrt Längen und Winkel (rigide)
Im rechtshändigen Koordinatensystem (RH-KS) gilt für $90°$ -Rotationen:
- wir schauen bei Rotationen von einer positiven Achse zum Ursprung
- Rotation um $+ x$ -Achse: $+ y$ wird nach $+ z$ gedreht
- Rotation um $+ y$ -Achse: $+ z$ wird nach $+ x$ gedreht
- Rotation um $+ z$ -Achse: $+ x$ wird nach $+ y$ gedreht

1000 0 cos (θ) sin (θ) 0 0 - sin (θ) cos (θ) 0 0001

cos (θ) 0 - sin (θ) 0 0100 sin (θ) 0 cos (θ) 0 0001

cos (θ) sin (θ) 00 - sin (θ) cos (θ) 00 00100001

Eigenschaften:

Verkettung / Vertauschung (achsengleich): $R_{a} (ϕ) R_{a} (θ) = R_{a} (ϕ + θ) = R_{a} (θ) R_{a} (ϕ)$
Inverse: $R_{a}^{- 1} (θ) = R_{a} (- θ)$
Rotation um verschiedene Achsen nicht kommutativ

Skalierung

Vergrößerung und Verkleinerung von Objekten
bewahrt nicht die Länge und nur bei uniformer Skalierung ( $s_{x} = s_{y} = s_{z}$ ) die Winkel

s_{x} 000 0 s_{y} 00 00 s_{z} 0 0001

Eigenschaften:

Verkettung / Vertauschung: $S (s_{1_{x}}, s_{1_{y}}, s_{1_{z}}) S (s_{2_{x}}, s_{2_{y}}, s_{2_{z}}) = S (s_{1_{x}} s_{2_{x}}, s_{1_{y}} s_{2_{y}}, s_{1_{z}} s_{2_{z}}) = S (s_{2_{x}}, s_{2_{y}}, s_{2_{z}}) S (s_{1_{x}}, s_{1_{y}}, s_{1_{z}})$
Inverse: $S^{- 1} (s_{x}, s_{y}, s_{z}) = S (\frac{1}{s _{x}}, \frac{1}{s _{y}}, \frac{1}{s _{z}})$

Spiegelung

Spiegelung an der $x y$ -, $x z$ - oder $yz$ -Ebene
linkshändiges Koordinatensystem $\to$ rechtshändiges Koordinatensystem
bewahrt Längen und Winkel, aber nicht die Polygonorientierung
- $\Rightarrow$ Verwendung: Invertierung der Polygonorientierung

- 1 000 010000100001

1000 0 - 1 00 00100001

10000100 00 - 1 0 0001

Auch als Skalierung darstellbar

Scherung

Allgemeine Scherungstransformation: $H_{x y}, H_{x z}, H_{y x}, H_{yz}, H_{z x}, H_{zy}$
1. Index: Koordinate, die geändert wird
2. Index: Koordinate, die dies kontrolliert

Beispiel:

10000100 s 010 0001

Komposition

erfolgt durch Multiplikation der Transformationsmatrizen: $(T_{1} \cdot T_{2} \cdot \dots \cdot T_{n}) p = T_{composite} p$
Interpretation: Anwendung von rechts nach links

Begriffe

Orthogonale Matrix: Eine Matrix $A \in G L (n, R)$ heißt orthogonal, falls gilt $A A^{T} = E$ also $A^{- 1} = A^{T}$ .

Jede Rotationsmatrix ist orthogonal

A^{T} = (cos (θ) - sin (θ) sin (θ) cos (θ)) = (cos (θ) sin (- θ) - sin (- θ) cos (θ)) = A^{- 1}

Orthonormalbasis (ONB): Eine Orthonormalbasis eines Vektorraums $V$ ist eine Basis, deren Vektoren alle die Länge 1 haben (normiert sind) und paarweise orthogonal sind, unterschiedliche Basisvektoren haben also das Skalarprodukt 0

Für beliebige $x, y \in R^{n}$ und orthogonale Matrix $A$ gilt $⟨ A x, A y ⟩ = ⟨ x, y ⟩$ , das heißt orthogonale Transformationen erhalten Längen und Winkel (Rigid-Body-Transformation)
Eine orthogonale Matrix bildet eine ONB auf eine weitere ONB ab
Eine Matrix, welche eine ONB auf eine weitere ONB abbildet, ist orthogonal

Transformation gerichteter Liniensegemente

Gegeben Liniensegmente $P_{1} P_{2}$ und $P_{1} P_{3}$ . Transformiere sie in die $x z$ -Ebene, wobei $P_{1} P_{2}$ auf der $z$ -Achse liegen soll
Die Transformation soll Längen und Winkelverhältnisse nicht ändern

Weg 1 - Transformationsfolge

Transliere $P_{1} = (- x_{1}, - y_{1}, - z_{1})$ in den Ursprung
Rotiere um die $y$ -Achse, so dass $P_{1} P_{2}$ in der $yz$ -Ebene liegt
Rotiere um die $x$ -Achse, so dass $P_{1} P_{2}$ in der $z$ -Achse liegt
Rotiere um die $z$ -Achse, so dass $P_{1} P_{3}$ in der $x z$ -Ebene liegt

Weg 2 - Nutzung der Eigenschaften orthogonaler Matrizen

Wir suchen eine orthogonale Matrix $R$ , sodass $X = R \cdot T$ die Liniensegmente wie gewünscht überführt, wobei $T$ die Translation von $P_{1}$ in den Ursprung beschreibt

Suche ONB $(r_{1}, r_{2}, r_{3})$ , die den Liniensegmenten entspricht, und - eingesetzt als Zeilenvektor in $R$ - die Rotation von $(r_{1}, r_{2}, r_{3})$ auf ONB $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ beschreibt

Der Vektor $r_{3}$ soll auf $e_{3}$ abgebildet werden. Da $P_{1} P_{2}$ auf der $z$ -Achse liegen soll, wählen wir für $r_{3}$ :

$r_{3} = \frac{P _{2} - P _{1}}{∣∣ P _{2} - P _{1} ∣∣}$

Unter Verwendung des Kreuzprodukts definieren wir weiter

$r_{2} = \frac{( P _{3} - P _{1} ) \times ( P _{2} - P _{1} )}{∣∣ ( P _{3} - P _{1} ) \times ( P _{2} - P _{1} ) ∣∣}, r_{1} = \frac{r _{2} \times r _{3}}{∣∣ r _{2} \times r _{3} ∣∣}$

T (x_{p}, y_{p}, z_{p}) \cdot R = 100001000010 x_{p} y_{p} z_{p} 1 \cdot r_{1 x} r_{2 x} r_{3 x} 0 r_{1 y} r_{2 y} r_{3 y} 0 r_{1 z} r_{2 z} r_{3 z} 0 0001

Transformation als Koordinatensystemänderung

Alternative Sichtweise auf Transformationen: nicht Punkte werden überführt, sondern lediglich Änderung des Koordinatensystems

einzelne Objekte einer Szene erhalten ihr eigenes, lokales Koordinatensystem
die lokalen Koordinatensysteme der Objekte müssen in ein gemeinsames Koordinatensystem, das Weltkoordinatensystem, überführt werden
- $M_{i \leftarrow j}$ bezeichnet den Wechsel von $K S_{j}$ in das $K S_{i}$
- $P^{(i)}$ bezeichnet die Darstellung des Punkte $P$ im $K S_{i}$
- Invertierung: $M_{i \leftarrow j} = M_{j \leftarrow i}^{- 1}$
- Transition: $M_{i \leftarrow j} \cdot M_{j \leftarrow k} = M_{i \leftarrow k}$

Koordinatensysteme für 3D-Transformationen:

Rechtshändiges: $z$ -Achse schaut zum Betrachter
Linkshändiges: $z$ -Achse schaut vom Betrachter weg
WebGL / OpenGL schreiben die Verwendung nicht vor, aber:
- Konvention in Mathematik, Physik, 3D-Modellierung und view/eye-Koordinaten ist rechtshändig
- clip space Koordinatensystem und normalized device coordinates sind linkshändig

Eulersche Winkel

Erlauben die Spezifikation einer Orientierung, d.h. einer Winkellage, eines Objekts im Raum

Eigentliche Eulerwinkel: $α, β$ und $γ$
Drehung $R$ kann in drei Drehungen um die jeweiligen Achsen aufgeteilt
Roll- (roll), Nick- (pitch) und Gierwinkel (yaw)

Smooth step function

⎩ ⎨ ⎧ 0 3 x^{2} - 2 x^{3} 1 falls x < 0 falls 0 \leq x \leq 1 sonst

Eigenschaften:

$f (0) = f (1) = 0$
$f^{'} (0) = f^{'} (1) = 0$
Gibt Familie an Polynomen mit solchen Eigenschaften (auch für höhere Ableitungen)

Quaternion

Jedes Quaternion bildet ein Quadrupel mit vier reellwertigen Koeffizienten

Verallgemeinerung der komplexen Zahlen (Quadrupel mit drei imaginären Komponenten)
Realteil: $q_{w}$
Imaginärteil: $q_{x}, q_{y}, q_{z}$

$q = (q_{x}, q_{y}, q_{z}, q_{w}) = i q_{x} + j q_{y} + k q_{z} + q_{w}$

Mathematischer Hintergrund: imaginäre Zahlen $i, j, k$ mit $i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1$ und $ij = k, jk = i, ki = j, ji = - k, kj = - i, ik = - j$

Operationen auf Quaternionen

Addition: (assozitiv und kommutativ): $q + r = (q_{v}, q_{w}) + (r_{v}, r_{w}) = (q_{v} + r_{v}, q_{w} + r_{w})$
Multiplikation mit Skalarwert: $λ q = λ (q_{v}, q_{w}) = (λ q_{v}, λ q_{w})$
Subtraktion von Quaterionen: $q - r = q + (- 1) r$
Multiplikation (assoziativ, aber nicht kommutativ): $q r = (q_{v} \times r_{v} + r_{w} q_{v} + q_{w} r_{v}, q_{w} r_{w} - ⟨ q_{v}, r_{v} ⟩)$
Konjugierte eines Quaternions: $\overline{q} = \overline{(q_{v}, q_{w})} = (- q_{v}, q_{w})$
Norm (Betrag) eines Quaternions: $∣ q ∣ = ⟨ q_{v}, q_{v} ⟩ + q_{w}^{2} = q_{x}^{2} + q_{y}^{2} + q_{z}^{2} + q_{w}^{2}$
Inverse zu einem Quaternion: $q^{- 1} = \frac{1}{∣ q ∣ ^{2}} \overline{q}$
Identitätsquaternion: $I = (0, 1) = ((0, 0, 0), 1)$

Einheitsquaternionen

Quaternionen mit einem Betrag von $1$ heißen Einheitsquaternionen

Sie sind abgeschlossen bezüglich der Addition und der Subtraktion
Können jede 3D-Rotation repräsentieren

Sei $q$ ein Einheitsquaternion, so kann dies dargestellt werden als

$q = (q_{v}, q_{w}) = (sin ϕ u_{q}, cos ϕ) = sin ϕ u_{q} + cos ϕ$

Außerdem gilt

$∣ q ∣ = 1 \Leftrightarrow q^{- 1} = \overline{q}$

Rotationen

Sei $p$ ein Punkte (bzw. Vektor), der in Quaternionendarstellung gegeben ist, und sei $q = (sin (ϕ) u_{q}, cos (ϕ))$ mit Vektor $u_{q}$ der Länge $1$

dann repräsentiert das Quaternionenprodukt $qp q^{- 1}$ die Rotation von $p$ um die Achse $u_{q}$ mit einem Rotationswinkel von $2 ϕ$
die Verkettung von Rotationen ist definiert als $r (qp \overline{q}) \overline{r} = (r p) p \overline{r q} = c p \overline{c}$ mit einer Einheitsquaterionen $c$ , die die verkette Rotation darstellt

Interpolation von Rotationen

Um zwischen zwei Rotationen $q_{1}$ und $q_{2}$ zu interpolieren, die als Einheitsquaternionen gegeben sind, wird zwischen deren Quaternionendarstellung interpoliert:

$Slerp (q_{1}, q_{2}, t) = \frac{s i n (( 1 - t ) α )}{s i n α} q_{1} + \frac{s i n ( t α )}{s i n α} q_{2}, t \in [0, 1], cos α = ⟨ q_{1}, q_{2} ⟩$

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