Algebra

zweistellige Funktion $\diamond :A\times A\to B$ Magma $(A,\diamond )$: abgeschlossen: $\forall a,b\in A:a\diamond b\in A$ Halbgruppe: zusätzlich Assoziativität: $\forall a,b,c\in A:(a\diamond b)\diamond c=a\diamond (b\diamond c)$ Monoid: zusätzlich neutrales Element: $\forall a\in A:e\diamond a=a=a\diamond e$ (stets eindeutig) Gruppe: zusätzlich inverses Element: $\forall a\in A\exists b\in A:a\diamond b=e$ (stets eindeutig) abelsche Gruppe: zusätzlich Kommutativität: $\forall a,b\in A:a\diamond b=b\diamond a$

Wenn $a$ Inverses von $b$ dann auch umgekehrt also auch $(g^{-1}{)}^{-1}=g$. $(a\diamond b{)}^{-1}=b^{-1}\diamond a^{-1}$.

Ringe und Körper

$(A,+,\cdot )$ ein Ring falls $(A,+)$ eine kommutative Gruppe und $(A,\cdot )$ eine Halbgruppe, sowie

1. $\forall a,b,c\in A:(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.
2. $\forall a,b,c\in A:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Zusätzlich $(A\setminus \{0\},\cdot )$ eine kommutative Gruppe dann, $(A,+,\cdot )$ ein Körper.

1. $\forall a\in R:0a=0=a0$
2. $\forall a,b\in R:a(-b)=-(ab)$
3. $\forall a,b\in R:(-a)b=-(ab)$
4. $\forall a,b\in R:(-a)(-b)=ab$
5. Falls $(R,\cdot )$ neutrales Element $1$ hat, $\forall a\in R$, $-a=(-1)a$.

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Strukturen

Unterstrukturen

Untergruppe $U\subseteq A$, wenn $(U,\diamond )$ Gruppe. Analog für andere Strukturen. Untermonoid zusätzlich Übernahme des neutralen Elements.

Wenn $U$ Untergruppe von $A$ dann $e_A=e_U$. Gilt nicht für Untermonoide.

Untergruppenkriterium: $U$ ist Untergruppe von $G$ $\iff$ $U$ nicht-leer und $\forall a,b\in U:a\cdot b^{-1}\in U$.

Homomorphismen und Isomorphismen

Homomorphismus: $f(a\diamond b)=f(a)\ast f(b)$ zwischen Magmen $(A,\diamond )$ und $(B,\ast )$. Isomorphismen sind invertierbar und bleiben Isomorphismen

Für $(A,\diamond )\cong (B,\ast )$ isomorphe Magmen:

1. Falls $(A,\diamond )$ Halbgruppe / Monoid / Gruppe, dann auch $(B,\ast )$.
2. Falls $(A,\diamond )$ ein neutrales Element $e$ hat, so ist $f(e)$ ein neutrales Element in $(B,\ast )$.

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Zahlentheorie

Modulo

$a\mathrm{mod}m$ mit $m\in {\mathbb{N}}_{+}$ und $a\in \mathbb{Z}$ ist eindeutige Zahl $r\in \{0,\dots ,m-1\}$ für die gilt $\exists x\in \mathbb{Z}:a=xm+r$

Teilbarkeit

$m|z$ für $m,z\in \mathbb{Z}$ falls $\exists n\in \mathbb{Z}:mn=z$ $a{\equiv }_{m}b$ falls $m|(a-b)$ $m\mathbb{Z}=\{z\in \mathbb{Z}\mid m|z\}=\{0,m,-m,2m,-2m,\dots \}$

$a,m\in \mathbb{Z}$ teilerfremd falls $\{x\in \mathbb{Z}\mid x|a\wedge x|m\}=\{1,-1\}$ $a,m>1$ teilerfremd $\Rightarrow$ $\exists b\in \mathbb{Z}$ so, dass $ab{\equiv }_{m}1$

Lemma von Euklid: Seien $a,b$ und $m\in {\mathbb{N}}_{+}$ so, dass $a,m$ teilerfremd sind. Falls nun $m|ab$, so gilt $m|b$. Insbesondere gilt für alle $p$ Primzahlen und $a,b\in \mathbb{Z}$, dass falls $p|ab$, so $p|a$ oder $p|b$.

Struktur

Sei $m\in {\mathbb{N}}_{\ge 2}$.

1. $({\mathbb{Z}}_m,{+}_m)$ ist abelsche Gruppe
2. $m$ Primzahl $\Rightarrow$ $({\mathbb{Z}}_m^{\ast },{\cdot }_m)$ Gruppe
3. $({\mathbb{Z}}_m,{+}_m,{\cdot }_m)$ ist Ring mit Monoid als multiplikativer Halbgruppe
4. $m$ Primzahl $\Rightarrow$ $({\mathbb{Z}}_m,{+}_m,{\cdot }_m)$ Körper

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Gruppentheorie

Endliche Gruppen

$(G,\cdot )$ endliche Gruppe:

1. Ordnung: $|G|$
2. $g^{-n}:=(g^{-1}{)}^n$
3. Erzeugte Untergruppe: $⟨g⟩=\{g^i\mid i\in \mathbb{Z}\}$ ist $\subseteq$-kleinste Untergruppe von $G$, welche $g$ enthält + abelsch
4. Ordnung von $g$ in $G$: $|⟨g⟩|$
5. G zyklisch, falls es $g\in G$ mit $⟨g⟩=G$ gibt

Sei $(G,\cdot )$ eine endliche Gruppe, $g\in G$ und $k$ die Ordnung von $g$. Dann ist $⟨g⟩=\{g^i\mid i\in \mathbb{N}\}=\{1,g,g^2,g^3,\dots ,g^{k-1}\}$. Weiterhin gilt $g^{k-1}=g^{-1}$ und $k$ ist die kleinste positive natürliche Zahl mit $g^k=1$.

Satz von Lagrange: Sei $(G,\cdot )$ eine endliche Gruppe und $U\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann teilt $|U|$ die Gruppenordnung $|G|$.

Kleiner Satz von Fermat: Sei $(G,\cdot )$ eine endliche Gruppe und $g\in G$. Dann ist $g^{|G|}=1$. Sei $G$ eine endliche Gruppe mit Ordnung $k\in \mathbb{N}$ und sei $g\in G$. Dann gilt $g^{-1}=g^{k-1}$.
Sei $p$ eine Primzahl. Dann gilt für alle Zahlen $a\in \mathbb{Z}$, die nicht von $p$ geteilt werden, dass $a^{p-1}{\equiv }_{p}1$.

Polynome

Sei $(G,\cdot )$ eine Gruppe. Dann ist $r\in G$ eine Wurzel von $g\in G$, falls gilt $r^2=g$. Wenn $R$ ein Ring und $g$ ein Element des Rings ist, kann man auch sagen: Alle Nullstellen des Polynoms $x^2-g$ sind Wurzeln von $g$.

Sei $R$ ein Ring. Ein Polynom über $R$ ist eine endliche Sequenz aus Koeffizienten $a_0,a_1,\dots ,a_d\in R$ mit $a_d\ne 0$ (mit der Ausnahme falls $d=0$). Wir schreiben die Menge aller Polynome über $R$ als $R[X]$. Intuitiv steht diese Sequenz für die Polynomfunktion $x\mapsto {\sum }_{i=0}^d{a}_i{x}^i$, und wir schreiben auch ${\sum }_{i=0}^d{a}_i{x}^i$ für das Polynom $a_0,a_1,\dots ,a_d$.

Polynomprodukt: Produkt von $a_0,a_1,\dots ,a_d$ und $b_0,b_1,\dots ,b_{d^{\prime }}$ = $c_0,c_1,\dots ,c_{d+d^{\prime }}$ mit, für alle $n\le d+d^{\prime }$, $c_n={\sum }_{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$

$R$ Ring $\Rightarrow$ $(R[X],+,\cdot )$ Ring

Nullstellensatz: $K$ Körper und $p(x)$ ein Polynom über $K$. $a$ Nullstelle von $p(x)$ $\iff$ $(x-a)$ teilt $p(x)$. $p(x)$ höchstens grad$(p)$ Nullstellen.