Verteilungen

Bernoulliverteilung

Experiment mit nur zwei Ausgängen:

• Erfolg: $X=1$
• Misserfolg: $X=0$

Für die Ergebnismenge $\Omega =\{0,1\}$ und einen Parameter (Erfolgswahrscheinluchkeit) $p\in [0,1]$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\mathrm{Bern}(\cdot ;p)$ als Bernoulliverteilung, falls gilt, dass

$\mathrm{Bern}(1;p)=p$

Erwartungswert

$E[X]=p$

Varianz

$V[X]=p\cdot (1-p)$

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Binomialverteilung

Es werden $n$ Bernoulli-Experimente hintereinander ausgeführt, wobei uns die Anzahl der Erfolge interessiert

Für zwei Parameter $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ und $p\in [0,1]$ sowie die Ergebnismenge $\Omega =\{0,\dots ,n\}$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\mathrm{Bin}(\cdot ;n,p)$ als Binomialverteilung, falls für alle $k\in \Omega$ gilt, dass

$\mathrm{Bin}(k;n,p)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$

Erwartungswert

$E[X]=n\cdot p$

Folgt aus Linearität des Erwartungswertes

Varianz

$V[X]=n\cdot p\cdot (1-p)$

Folgt aus Unabhängigkeit der einzelnen Zufallsexperimente

Summe

Seien $X$ und $Y$ zwei binomialverteilte Zufallsvariablen mit $X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$ und $Y\sim \mathrm{Bin}(m,p)$. Dann ist

$X+Y\sim \mathrm{Bin}(n+m,p)$

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Hypergeometrische Verteilung

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Poissonverteilung

Nachtragen

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Hypergeometrische Verteilung

Erwartungswert

Sein $X$ eine hypergeometrisch-verteilte Zufallsvariable nach den Parametern $M$, $N$ und $n$. Dann hat $X$ den Erwartungswert

$E[X]=n\cdot \frac{M}{M+N}$

Varianz

Sein $X$ eine hypergeometrisch-verteilte Zufallsvariable nach den Parametern $M$, $N$ und $n$. Dann hat $X$ die Varianz

$V[X]=n\cdot p\cdot (1-p)\cdot (1-\frac{n-1}{N+M-1})$

Bedingte Binimialverteilung

Seien $X\sim \mathrm{Bin}(n,p)$ und $Y\sim \mathrm{Bin}(m,p)$ zwei unabhängige binomialverteilte Zufallsvariablen mit den Parametern $n,m$ und $p$. Dann gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit von $X$ gegeben, dass die Summe von $X$ und $Y$ eine feste Zahl $k=\{0,\dots ,n+m\}$ ist

$P(X=i|X+Y=k)=\mathrm{Hyp}(i;n,m,k)$

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Poissonverteilung

Für einen Parameter $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}$ und die Ergebnismenge $\Omega =\mathbb{N}$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\mathrm{Pois}(\cdot ;\lambda )$ als Poissonverteilung, falls für alle $k\in \Omega$ gilt, dass

$\mathrm{Pois}(k;\lambda )=\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot \exp (-\lambda )$

Wobei $\lambda =n\cdot p$ mit den Parametern $n$ und $p$ einer Binomialverteilung, deren Grenzwert wir für $n\to \infty$ bei konstantem $\lambda$ betrachten.

Erwartungswert

$E[X]=E[Y_{\infty }]={\lim }_{n\to \infty }n\cdot p(n)=\lambda$

$V[X]=\lambda$

Herleitung der Varianz analog zu Erwartungswert

Summe

Seien $X_1\sim \mathrm{Pois}({\lambda }_1)$ und $X_2\sim \mathrm{Pois}({\lambda }_2)$ zwei unabhängige poissonverteilte Zufallsvariablen. Dann gilt

$X_1+X_2\sim \mathrm{Pois}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

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Gleichverteilung

Für zwei Zahlen $a,b\in \mathbb{R}$ mit $a<b$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\mathcal{U}(\cdot ;a,b)$ auf dem Ereignisraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ als stetige Gleichverteilung, falls hierbei für alle $A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ gilt, dass

$\mathcal{U}(A;a,b)=\frac{1}{b-a}\cdot {\int }_A{\mathbb{I}}_{[a,b]}(x)dx$

Erwartungswert

Sei $X\sim \mathcal{U}(a,b)$ eine reelle Zufallsvariable. Dann hat $X$ den Erwartungswert

$E[X]=\frac{a+b}{2}$

Varianz

Sei $X\sim \mathcal{U}(a,b)$ eine reelle Zufallsvariable. Dann hat $X$ die Varianz

$V[X]=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

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Exponentialverteilung

Für einen Parameter $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\mathcal{E}(\cdot ;\lambda )$ auf dem Ereignisraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ als Exponentialverteilung, falls für alle $A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ gilt, dass

$\mathcal{E}(A;\lambda )={\int }_A\lambda \cdot \exp (-\lambda \cdot x)\cdot {\mathbb{I}}_{[0,\infty )]}(x)dx$

Verteilungsfunktion

Sei $X\sim \mathcal{E}(\lambda )$ exponentialverteilt mit Parameter $\lambda$. Dann gilt für die Verteilungsfunktion

$F(c)=P(X\le c)=1-\exp (-\lambda \cdot c)$

Erwartungswert

Sei $X\sim \mathcal{E}(\lambda )$ eine reelle Zufallsvariable. Dann hat $X$ den Erwartungswert

$E[X]=\frac{1}{\lambda }$

Varianz

Sei $X\sim \mathcal{E}(\lambda )$ eine reelle Zufallsvariable. Dann hat $X$ die Varianz

$V[X]=\frac{1}{{\lambda }^2}$

Gedächtnislosigkeit

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ einer reellen Zufallsvariablen $X$ ist gedächtnislos, falls für alle $s,t\in \mathbb{R}$ gilt, dass

$P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$

Wenn $X\sim \mathcal{E}(\lambda )$ dann ist die Zufallsvariable gedächtnislos für alle $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}$.

Verteilung des Minimums

Seien $X_1,\dots ,X_n$ unabhängige reelle exponentialverteilte Zufallsvariablen mit $S{X}_i\sim \mathcal{E}({\lambda }_i)$. Dann ist die Verteilung des Minimums von $X_1,\dots ,X_n$ auch exponentialverteilt mit $\lambda ={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i$

$P(\min (X_1,\dots ,X_n)\le c)=\mathcal{E}(c;{\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i)$

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Gammaverteilung

Für zwei Parameter $\alpha ,\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\text{Gam}(\cdot ;\alpha ,\lambda )$ auf dem Ereignisraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ als Gammaverteilung, falls für alle $A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ gilt, dass

$\text{Gam}(A;\alpha ,\lambda )=\frac{1}{\Gamma (\alpha )}\cdot {\int }_A\lambda \cdot \exp (-\lambda x)(\lambda x{)}^{\alpha -1}\cdot {\mathbb{I}}_{[0,\infty )}(x)dx$

Erwartungswert

$E[X]=\frac{\alpha }{\lambda }$

Varianz

$V[X]=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$

Summe

Seien $X_1\sim \text{Gam}({\alpha }_1,\lambda )$ und $X_2\sim \text{Gam}({\alpha }_1,\lambda )$ zwei unabhängige reelle Zufallsvariablen. Dann gilt

$X_1+X_2\sim \text{Gam}({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$

Da Exponentialverteilungen dem Spezialfall $\alpha =1$ von Gammverteilungen entsprechen, folgt für $X_1\sim \mathcal{E}(\lambda )$ und $X_2\sim \mathcal{E}(\lambda )$ zwei unabhängige reelle Zufallsvariablen

$X_1+X_2\sim \text{Gam}(2,\lambda )$

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Normalverteilung

Für zwei Parameter $\mu \in \mathbb{R}$ und ${\sigma }^2\in {\mathbb{R}}_{+}$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung $\mathcal{N}(\cdot ;\mu ,{\sigma }^2)$ auf dem Ereignisraum $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ als Normalverteilung, falls für alle $A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ gilt, dass

$\mathcal{N}(A;\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi \cdot {\sigma }^2}}\cdot {\int }_A\exp (-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }^2})dx$

Lineartransformation normalverteilter Zufallsvariablen

Seien $a,b\in \mathbb{R}$ und $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ eine reelle Zufallsvariable. Dann gilt

$a\cdot X+b\sim \mathcal{N}(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$

Korollar Standardnormalverteilung

Sei eine reelle Zufallsvariable $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$. Dann ist die Variable $Z\sim \mathcal{N}(0,1)$ standardnormalverteilt, wobei

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

Verteilung

Nachtragen

Erwartungswert

Eine reelle Zufallsvariable $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ hat den Erwartungswert

$E[X]=\mu$

Dies folgt aus dem Erwartungswert $E[X]=0$ für Verteilungen $X\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$

Varianz

Eine reelle Zufallsvariable $X\sim \mathcal{N}(0,1)$ hat die Varianz

$V[X]={\sigma }^2$

Dies folgt aus der Varianz $V[X]=1$ für Verteilungen $X\sim \mathcal{N}(0,1)$

Summe von normalverteilten Zufallsvariablen

Seien $X_1\sim \mathcal{N}({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ und $X_2\sim \mathcal{N}({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ unabhängige reelle Zufallsvariablen. Dann gilt

$X_1+X_2\sim \mathcal{N}({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

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${\chi }^2$-Verteilung

Sei $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ und seien $X_1,\dots ,X_n$ unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Dann folgt die Zufallsvariable $Z={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$ einer ${\chi }^2$-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden, auch als ${\chi }^2(n)$ bezeichnet. Für alle $A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ gilt, dass

${\chi }^2(A;n)={\int }_A\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \Gamma (\frac{n}{2})}\cdot x^{\frac{n}{2}-1}\cdot \exp (-\frac{x}{2})\cdot {\mathbb{I}}_{[0,\infty )}(x)dx$

• Spezialfall der Gammaverteilung mit $\alpha =\frac{n}{2}$ und $\lambda =\frac{1}{2}$

Erwartungswert und Varianz

Sei $X\sim {\chi }^2(n)$ eine reelle Zufallsvariable. Dann gilt

$E[X]=n$

$V[X]=2n$

Summe von ${\chi }^2$-verteilten Zufallsvariablen

Seien $X_1\sim {\chi }^2(n_1)$ und $X_2\sim {\chi }^2(n_2)$ zwei unabhängige reelle Zufallsvariablen. Dann gilt

$X_1+X_2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$

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$t$-Verteilung

Sei $Z\sim \mathcal{N}(0,1)$ und $Y\sim {\chi }^2(n)$. Dann folgt die reelle Zufallsvariable $X=Z/\sqrt{\frac{Y}{n}}$ einer $t$-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden. Für eine $t$-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden gilt für alle $A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ dass

$t(A;n)={\int }_A\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\cdot \pi }\cdot \Gamma (\frac{n}{2})}\cdot (1+\frac{x^2}{n}{)}^{-\frac{n+1}{2}}dx$