Konvergenzen

Konvergenz

Gegeben eine Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von Zahlen in $\mathbb{R}$, sagen wir, dass die Folge gegen eine Zahl $x$ konvergiert, $x_n\to x$, genau dann wenn für alle $\epsilon >0$ ein Index $N(\epsilon )$ existiert, so dass

$\forall j\ge N(\epsilon ):|x_j-x|<\epsilon$

Stochastische Konvergenz

Gegeben sei eine Folge $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von reellen Zufallsvariablen und $X$ eine reelle Zufallsvariable auf einem Ereignisraum $(\Omega ,\mathcal{F},P)$.

Konvergenz in Verteilung

$(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert in Verteilung gegen $X$, $X_n{\to }^{d}X$, genau dann wenn für jedes $c\in \mathbb{R}$, bei welchem $F_X$ stetig ist, gilt, dass

$\lim F_{X_n}(c)=F_X(c)$

Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

$(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen $X$, $X_n{\to }^{P}X$, genau dann, wenn für jedes $\epsilon >0$ gilt, dass

${\lim }_{n\to \infty }P(|X_n-X|\ge \epsilon )=0$

Fast sichere Konvergenz

$(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert fast sicher gegen $X$, $X_n{\to }^{f.s.}X$, genau dann, wenn gilt, dass

$P(\{\omega \in \Omega |{\lim }_{n\to \infty }{X}_n(\omega )=X(\omega )\})=1$ dies ist äquivalent dazu, dass für jedes $\epsilon >0$ gilt, dass

${\lim }_{n\to \infty }P({\max }_{m\ge n}|X_m-X|>\epsilon )=0$

Implikation von oben nach unten (d $\Rightarrow$ P $\Rightarrow$ f.s.)

Stabilitätseigenschaften

Für fast sichere Konvergenz und Konvergenz in Wahrscheinlichkeit folgt aus $X_n\to X$ und $Y_n\to Y$, dass

$a\cdot X_n+b\cdot Y_n\to a\cdot X+b\cdot Y$

sowie

$X_n\cdot Y_n\to X\cdot Y$

Gilt nicht für Konvergenz in Verteilung!

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Gesetz der großen Zahlen

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Seien $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ paarweise unkorrelierte, reelle Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert $E[X_n]=m$ und Varianz $V[X_n]=v$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Dann gilt

$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i{\to }^{P}m$

Starkes Gesetz der großen Zahlen

Seien $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ paarweise unabhängige, identisch verteilte, reelle Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert $E[X_n]=m$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Dann gilt

$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i{\to }^{f.s.}m$

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Zentraler Grenzwertsatz

Sei $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge von paarweise unabhängigen, identisch verteilten, reellen Zufallsvariablen mit Erwartungswert $E[X_i]=m$ und positiver Varianz $V[X_i]=v>0$. Dann gilt

${\overline{X}}_n{\to }^d\mathcal{N}(m,\frac{v}{n})$

wobei die asymptotische Verteilung des Mittelwerts ${\overline{X}}_n$ definiert ist als $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$.